تیز هوشان

یک عدد سه رقمی انتخاب کنید که یکان وصدگان آن حداقل دو واحد

 اختلاف داشته باشد.                                                 مثال اول:                    157

مقلوب این عدد را بنویسید.                                                                           751

اختلاف عدد و مقلوبش را بدست آورید.                                          594=157-751

اکنون عدد حاصل (در این مثال: 594) را با مقلوبش جمع کنید.      1089=495+594

پاسخ بدست آمده یک عدد چهار رقمی است.   "۱۰۸۹"

مثال دوم:    مرحله اول:                 عدد انتخابی:             905

                   مرحله دوم:                                396=509-905

                   مرحله سوم:                          1089=693+396

در مثال دومی نیز عدد  1089 بدست آمد.

آیا شما نیز با انتخاب یک عدد دلخواه و طی این روند ساده به همین عدد

خواهید رسید؟ امتحان کنید.

و اگر پاسخ مثبت است. چرا باید به عدد 1089 برسیم؟

دستگاه‌های شمار !

شمارش : اگر هر دست ما به‌جای 5 انگشت 4 انگشت داشت ، چه چیزهایی در زندگی روزمره‌مان تغییر می‌کرد ؟

ما به‌طور معمول برای شمردن ، دسته‌های ده‌تایی درست می‌کنیم . ابتدا با 10 تا یکی  -1 بسته ده‌تایی ، با 10 بسته ده‌تایی  - یک بسته صدتایی و با 10 صدتایی یک بسته هزارتایی درست می‌کنیم و به همین ترتیب ، دسته‌بندی ده‌تایی را ادامه می‌دهیم . نماد 215 نشان می‌دهد که 215 شیء را می‌توانیم در 2 بسته صدتایی ، 1 بسته ده‌تایی و پنج یکی قرار دهیم . سیستم شمارش اعداد بر مبنای 10 به دستگاه شمار هندو - عربی شهرت یافته است . گرچه مفید بودن انگشتان در نمایش اعداد به توسعه وسیعی از سیستمی از اعداد که بر مبنای ده قرار دارد منجر شده است ، لیکن عدد ده به هیچ وجه تنها پایه به کار رفته برای سیستم اعداد نمی‌باشد . سیستم شمارش بابلی‌ها ترکیبی از مبناهای ده و شصت را مورد استفاده قرار می‌داد که نشانه‌های آن امروزه در واحد اندازه‌گیری زمان و زاویه یعنی 60 ثانیه و 60 دقیقه مشهود است ، در گذشته‌های دور عددهای نجومی در مبنای 60 نوشته می‌شد . امروزه در الکترونیک دیجیتال از مبنای دودویی بیشتر استفاده میشود . در طول تاریخ ثبت شده است که پیشرفت جامعه‌های متمدن با توسعه سیستم شمارش اعداد و نوشتار متن گفتار ( کتابت و کتاب نویسی ) همراه بوده که چنین به‌نظر می رسد که همگی ریشه در وحی کتب آسمانی و تاریخ ادیان داشته است . نشانه‌هایی از سیستم‌هایی از اعداد بر پایه سه ، چهار ، پنج ، شش ، هشت ، و بیست در میان سرخ پوستان آمریکای شمالی پیدا شده است . بعضی شواهد از سیستم اعداد بر پایه دوازده را میتوان در مثال اینکه هر فوت دوازده اینچ است یا هر شیلینگ انگلیسی دوازده پنس و یا اینکه هر سال دوازده ماه است و یا شبانه روز دو تا 12 ساعت است و ... ، ملاحظه کرد . اما در جوامع امروزی به‌نظر می‌رسد که سیستم اعداد بر پایه ده برنده شده است . البته نه به‌علت وجود مزایای ذاتی ، بلکه به نظر می‌رسد که به سبب وجود ده انگشت دو دست می‌باشد . عمل‌های حساب دهدهی برای ما به‌خوبی آشنا هستند . دانش آموز دبستانی جدول‌های جمع و ضرب را برای 9 عدد اصلی و صفر به همراه بعضی قواعد برای نگهداشتن یک رقم از یک عمل به عمل بعد یاد می‌گیرد و سرانجام با این قواعد یاد می‌گیرد که عمل‌های حسابی را روی هر دسته پایان داری از اعداد دهدهی انجام دهد . در سیستم‌های اعداد دیگر ، دسته قواعد مشابه برای حساب وجود دارد . بخش زیر این قواعد را برای سیستم دوجینی ( دوازده تایی ) توصیف می‌کند .

سیستم دوجینی یا دوازده‌تایی :

ما آنچنان به شمارش در سیستم دهدهی عادت کرده‌ایم که وقتی می خواهیم از سیستم اعداد متفاوتی استفاده کنیم ، کاملا مشکل است که بسیاری از عادت‌های فکر کردن را نادیده بگیریم . برای اینکه بعضی از این اشکالات تذکر داده شوند ، ما در باره سیستم دوجینی یا دوازده‌تایی بحث می‌کنیم .

در این سیستم علامتهای زیر را به عنوان نشانه‌های اساسی به کار می‌بریم .

1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ,7 , 8 , 9 , D , E

حرف D به جای عدد دهدهی 10 و حرف E به‌جای عدد دهدهی 11 می‌باشد . گیریم  برای جلوگیری از اشتباه کردن آنها را با نامهای دهدهی dec و el بنامیم . عدد بعد از el یک دوجین است که در این طرز نمایش به صورت 10 نوشته خواهد شد . عدد بعدی ، که همان عدد سیزده دهدهی است ، به صورت 11 نوشته می‌شود . از برخی لحاظ بهتر بود که به‌جای علامت‌های 1 تا 9 نیز نشانه‌های کاملا جدیدی برای علامتهای اساسی سیستم دوجینی انتخاب می‌گردید . زیرا کاربرد علامتهای دهدهی قواعد دهدهی را پیشنهاد می‌کنند که در سیستم دوجینی صادق نیستند .

برای مثال ، به‌جای قاعده جمع دهدهی شش به اضافه پنج مساوی یازده ، باید شش به اضافه پنج مساوی el قرار گیرد .

6+5=(یازده دهدهی)=E

قاعده دهدهی شش به اضافه هفت مساوی سیزده ، باید بوسیله شش به اضافه هفت مساوی یک  دوجین و یک تعویض گردد ، یا

6+7=11دوجینی

پس باید دقت شود که دوباره به طرز تفکر قواعد دهدهی برنگردیم . برای علامت‌های اساسی حساب دوجینی یک جدول جمع جدید همچنین یک جدول ضرب جدید باید آموخته شود . برای مثال پنج ضربدر هشت مساوی چهل دهدهی یا سه دوجین و چهار است ، یا

5*8=40=3*12+4=34دوجینی

برای نوشتن اعداد دوجینی به هر اندازه ، سیستم « ارزش محل » را به کار می‌بریم ، یعنی برای تعیین مقدار هر رقم محل آنرا نسبت به ممیز دوجینی ( نه ممیز دهدهی ) در نظر می‌گیریم ، هر محل سمت راست یا سمت چپ ممیز دوجینی از لحاظ  مقدار از محل مجاور خود به اندازه یک ضریب دوجین متفاوت می باشد . به طور مثال :

171دهدهی=3+24+144=3+(12*2)+(12*12*1)=123دوجینی

1.61805555555دهدهی=(12/12/5)+(12/7)+1=1.75دوجینی

سیستم دوجینی از بعضی جهات راحت‌تر از سیستم دهدهی است . راحتی فوق اصولا از این حقیقت ناشی می شود که تعداد مقسوم علیه‌های دوازده از تعداد مقسوم علیه‌های ده بیشتر میباشد . دوازده بر یک ، دو ، سه ، چهار ، شش و دوازده بخش‌پذیر است .

بنابراین بسیاری از محاسبات دستی در سیستم دوجینی تا حدودی ساده‌تر از سیستم دهدهی هستند ، بعضی از کسرهای معمولی که در مبنای دهدهی به صورت عددهای کسری متناوب در می‌آیند در مبنای دوجینی چنین نیستند . برای نمونه کسر 3/1 که همان 12/4 میباشد در مبنای دوجینی به صورت 0.4 است . بعضی از کسرهای ساده در مبنای دوجینی به صورت زیر می باشند .

دوجینی 0.2 = دهدهی 12/2=6/1

دوجینی 0.3 = دهدهی 12/3=4/1

دوجینی 0.4 = دهدهی 12/4=3/1

دوجینی 0.6 = دهدهی 12/6=2/1

با وجود راحتی ، مبنای دوجینی احتمالا هرگز برای محاسبات دستی پذیرفته نخواهد شد . ولی لازم است بدانیم ، که سیستم شمارش در عالم و هستی  ما بر پایه مبنای دوجینی یا دوازده‌تایی استوار گردیده است که در مباحث بعدی به این موضوع بسیار مهم خواهیم پرداخت . در واقع مبنای شمارش اعداد در ریاضیات مختص فیزیک نیز ، سیستم دوازده‌تایی یا همان سیستم شمارش دوجینی در نظر گرفته میشود

یک ویژگی جالب مثلث خیام- پاسکال

در این مقاله ، نشان خواهیم داد که در مثلث خیام - پاسکال از ردیف سوم به بعد ،هیچ دو عنصر مخالف با 1 در یک ردیف ، نسبت به هم اول نیستند...

مطمئنا" همه ی شما با مثلث خیام - پاسکال آشنایی دارید و طرز ساخت آن را می دانید.بد نیست یادآور شویم که در ردیف n ام این مثلث ،عنصر k ام از جمع عناصر k ام و 1-k ام ردیف 1-n ام به دست می آید(1k ) .در این جا،چند ردیف از این مثلث را آورده ایم :

لم: در ردیف n ام(...,3 ,2 ,1 ,0=n) این مثلث،عنصر k ام(nو...و2و1و0=k) به صورت  است.

برای اثبات این موضوع ،ابتدا توجه می کنیم که برای ، داریم :.

اکنون با استفاده از رابطه ی (1) و به کمک استقرا ، لم اثبات می شود.(جزئیات به عهده ی خواننده).

بنابراین می توان مثلث خیام - پاسکال را به صورت زیر در نظر گرفت: 

قضیه:در مثلث خیام - پاسکال از ردیف سوم به بعد ،هیچ دو عنصر مخالف با 1 در یک ردیف ، نسبت به هم اول نیستند.
ابتدا توجه می کنیم که برای   داریم :

مساله: آیا می توانید رابطه ی (2) را با یک بحث ترکیبیاتی اثبات کنید.
حال نشان می‌دهیم که برای 0k>m داریم : .
فرض کنیم این طور نباشد،یعنی 1=()  با توجه به رابطه ی (2)، عاد می‌کند را  .چون نسبت به هم اول اند. پس طبق لم اقلیدس عاد می‌کند را، ولی این ممکن نیست چرا که .

به این ترتیب ، قضیه اثبات می شود.

 9 پاکت دربسته روی هم 255 واحد پول داریم . نحوه ی توزیع پول در پاکت ها به صورت زیر است :

پاکت اول: 1 واحد         پاکت پنجم: 16 واحد 
پاکت دوم: 2 واحد       پاکت ششم: 32 واحد 
پاکت سوم: 4 واحد       پاکت هفتم: 64 واحد 
پاکت چهارم: 8 واحد    پاکت هشتم: 128واحد

مساله این است که اگر کسی از شما 1، 2، 3 ... یا 255 واحد بخواهد آیا شما می‌توانید به راحتی و بدون باز کردن پاکت‌ها، پول مورد درخواست او را بپردازید؟
جالب این جاست که پاسخ مثبت است ، در ابتدا دو مثال می آوریم :
فرض کنید ازشما 213 واحد خواسته باشند،شما می توانید پاکت های اول،سوم،پنجم،هفتم و هشتم را بدهید : 213=1+4+16+64+128 .

اگر از شما 248 واحد خواسته باشند، شما می‌توانید با کنار گذاشتن 3 پاکت اول، 5 پاکت باقی مانده را بدهید. یعنی: 248=8+16+32+64+128 .
اساس این مسأله بر این حقیقت استوار است : برای هر n طبیعی ، می‌توان هر عدد دلخواه از1تا را با استفاده از مجموع اعضایی از مجموعه ی به دست آورد.
در این جا مبالغی که در هشت پاکت قرار گرفته‌اند، به ترتیب چنین‌اند:

پس می توان هر مبلغی از 1 تا 255 واحد را بدون باز کردن پاکت ها پرداخت کرد .

اعدادعجیب واستثنایی
   در مجموعه اعداد طبیعی عدد 15873 عدد عجیبی است. چون اگرآن را در هر رقمی ضرب (منظور از رقم، یعنی اعداد 1 تا 9 ) و سپس حاصل را در عدد 7 ضرب کنیم ارقام عدد حاصل عبارت خواهد بود از رقم انتخابی، برای مثال اگر این عدد را در 4 ضرب کنیم داریم: 63492=4×15873 سپس با ضرب حاصل بدست آمده در 7 داریم: 444444=7×63492 ، حال شما برای ارقام دیگری نیز امتحان کنید.
از آن عجیب تر آنکه اگر این عدد را در عددهای دو رقمی که مجموع ارقام آنها از 10 کمتر باشد ضرب کنیم به نتیجه جالب تری می رسیم. برای مثال این عدد را ابتدا در 35 و سپس در 7 ضرب کنیم داریم:
555555=35×15873، 3888885=7×555555 نگاه کنید ارقام اول و آخر عدد همان ارقام 35 هستند و ارقام دیگر تکرار حاصل جمع 3 و 5 می باشد، برای ارقام دیگر امتحان کنید.

●
اعداد چند ضلعی عددهایی هستند، که با شکلچند ضلعی‌های منتظم ارتباط ویژه‌ای دارندا.
الف) عددهای مثلثی: اگر چند دکمه یکسان داشته باشید، می توانید آنها را کنار هم طوری قرار‌دهید که تشکیل یک مثلث متساوی‌الاضلاع دهند. به طوری که در سطر اول جدول مشاهده می‌کنید، در هر کدام از این مثلثها فقط یک دکمه در راس قرار‌دارد در هر یک از سطرهای پایین نیز، هر سطر یک دکمه بیشتر از سطر بالای خود دارد. پس شمار دکمه‌های به کار رفته در آنها را، چپ به راست، می‌توان چنین به دست آورد:
…،(۵+۴+۳+۲+۱)،(۴+۳+۲+۱)، (۳+۲+۱)، (۲+۱)،(۱)و حاصل هر یک از آنها نیز عدد مثلثی نام دارد. پس سری اعداد مثلثی چنین خواهد‌بود:
…،۷۸،۶۶،۵۵،۴۵،۳۶،۲۸،۲۱،۱۵،۱۰،۶،۳،
در اینجا اگر شمار دکمه‌های واقع در یک ضلع مثلث معلوم باشد، تعیین مجموع دکمه‌های آن ساده است. کافی خواهد‌بود، که آن را با تمام اعداد طبیعی متوالی کوچکتر از خود جمع کنیم. مثلا اگر تعداد دکمه‌ها در یک ضلع ۵ تا باشد، شمارکل دکمه‌ها۱+۲+۳+۴+۵ یعنی ۱۵تا خواهد‌بود.
ب ) عددهای مربعی: این بار دکمه‌ها را در سطرها و ستونهای مساوی کنار هم قرار می‌دهیم. تا یک مربع تشکیل شود .با توجه به شکلهای مربوطه معلوم می‌گردد. که تعداد دکمه‌ها در آنهاـ به ترتیب ـ مساوی باتوان دوم اعداد طبیعی ۱و ۲و ۳و ۴و … خواهد‌بود.
در اینجا، با معلوم بودن شمار دکمه‌ها در یک ضلع. تعداد کل آنها در مربع معلوم خواهد بود. و اعداد مربعی عبارت از توان دوم اعداد طبیعی متوالی است، که عبارتند از:
…
،۱۴۴، ۱۲۱،۱۰۰،۱۱۷،۹۲،۷۰،۵۱،۳۵،۲۲،۱۲،۵،۱
ج) عددهای به صورت پنج ضلعی : با یک نظر به سومین سطر از جدول متوجه می شوید که اعداد مخمسی نیز عبارتند از:
۱,۵,۱۲,۲۲,۳۵,۵۱,۷۰,۹۲,۱۱۷,۱۴۵,۱۷۶,…
ریاضیدانان محاسبه کرده‌اند، که در اینجا نیز با معلوم بودن شمار دکمه‌ها در یک ضلع، تعداد دکمه‌های به کار رفته درکل آن معلوم می‌گردد، کافی است، شمار دکمه‌هایی را که در یک ضلع واقعند، به توان دوم برسانید، و آن را با تمام اعداد طبیعی و متوالی پایین‌تر از خود جمع کنید. مثلا محاسبه‌ی دکمه‌های به کار رفته در آخرین پنج ضلعی جدول چنین است: ۱+۲+۳+۴+۵۲، که مساوی ۳۵می‌شود. و هر گاه بخواهیم یک عدد مخمسی پیدا کنیم، که یک ضلع شامل ۸ واحد شود، باید چنین کنیم:
۱+۲+۳+۴+۵+۶+۷+۸۲که حاصل ۹۲می‌شود.
د) اعداد شش ضلعی: اعداد شش ضلعی نیز با توجه به شکل عبارتند از:
…، ۲۳۱، ۱۹۰، ۱۵۳، ۱۲۰، ۹۱، ۶۶، ۴۵، ۲۸، ۱۵، ۶، ۱
در اینجا نیز هر عدد به صورت شش ضلعی، برابر است، با تعداد واحدهای آن در یک ضلع، به اضافه‌ی چهار برابر عدد مثلثی ردیف قبل از آن. به عنوان مثال، در آخرین شکل مربوط به شش ضلعی، در یک ضلع ۵ دکمه وجود‌دارد.و می‌‌دانیم که چهارمین عدد‌مثلثی ۱۰ است. پس می‌توان نوشت: ۱۰×۴+۵، که نتیجه ۴۵دکمه می‌‌شود. حالا شما می‌دانید که مثلاّ عدد شش ضلعی ۲۳۱ چگونه به دست آمده است

چُرتکه ابزاری قدیمی برای محاسبه ی چهار عمل اصلی است که هنوز در بسیاری از کشورهای آسیایی مورد استفاده قرار می‌گیرد. واژه ی چرتکه در فارسی احتمالاً از روسی گرفته شده است. گونه ی روسی چرتکه، چوتی یا شوتی نام دارد.

ساختار چرتکه:
یک چرتکه ی استاندارد برای انجام چهار عمل اصلی ریاضی مورد استفاده قرار می‌گیرد .چرتکه از یک قاب اصلی تشکیل شده است که چندین میله ی عمودی در آن جاسازی شده و در هر یک از این میله‌ها تعدادی مهره ی چوبی وجود دارند که به بالا و پایین حرکت می‌کنند. یک میله ی افقی فضای داخل قاب را به دو قسمت تقسیم می‌کند که به آن ها ردیف بالا و ردیف پایین گویند .

اجزا وشیوه ی محاسبه:
چرتکه را برای استفاده بر روی سطح صافی مانند میز یا روی پا قرار می‌دهند و تمام مهره‌های بالا و پایین را درجهت مخالف به سمت میله ی افقی حرکت می‌دهند.

ارزش مهره‌ها:

ارزش عددی هر مهره در ردیف بالا ۵ و در ردیف پایین ۱ است. هنگامی که مهره‌ها به سمت میله ی افقی حرکت داده شوند، در واقع شمرده شده‌اند.

شمارش:

هنگامی که ۵ مهره در ردیف پایین شمرده شوند، نتیجه به ردیف بالا منتقل می‌شود. هنگامی که تمام مهره‌های بالا و پایین یک ستون شمرده شدند، نتیجه ی آن یعنی (۱۰) به نزدیک ترین ستون سمت چپ آن منتقل می‌شود.آخرین ستون سمت راست، ستون یکان است، ستون بعدی دهگان، بعدی صدگان و الی آخر. محاسبات اعشاری به این ترتیب انجام می‌شوند که فاصله ی بین دو ستون به عنوان ممیز تعیین می‌شود و تمام ستون های سمت راست این فاصله، اعداد اعشاری و ستون های سمت چپ، اعداد صحیح را نشان می‌دهند. در پایین یک چرتکه نمایش داده شده است که مطابق بحث فوق عدد 221 را نمایش می دهد .

چرتکه در زمان ما:
امروزه مغازه داران آسیایی هم چنان از چرتکه برای محاسبات خود استفاده می‌کنند واستفاده از چرتکه در بسیاری از مدارس خاور دور تدریس می‌شود. برای آموزش محاسبات ریاضی به کودکان نابینا هم از چرتکه استفاده می‌شود و این بهترین وسیله ی جایگزین برای کاغذ و مداد است. علاوه بر آن در بسیاری از مدارس عادی نیز به جای ماشین حساب و یا انجام محاسبات روی کاغذ، از چرتکه استفاده می‌کنند و روش استفاده ی آن را به دانش آموزان تعلیم می دهند.